Utolsó kommentek

  • hirnok: Látom, leállt a blogod - Talán nem gond, ha frissítem szövegemmel s webhelyem linkjével: sites.goo... (2012.07.01. 16:31) Előzmények
  • OBSERVER: szerintem nagyon jó a blogod! érthetően magyarázol érdekes dolgokat. üdv! Berti (2009.10.10. 15:41) Deriválás
  • GoLinux: A fősulin nálunk gyakran emlegette a matek tanárom, hogy "márpedig deriválni a ló is tud" xD Tetsz... (2009.08.12. 17:02) Deriválás - egy ló is meg tudja tanulni
  • Serenic: Ezt egy ló is meg tudja tanulni! :) (2009.04.23. 21:15) Deriválás
  • Utolsó 20

Természettudomány

A blog elsősorban természettudományos témákkal és matematikával foglalkozik

Archívum

A Google Analytics méri az oldalt

Kör területének meghatározása Arkhimédész módszerével

eipi-1 2009.03.28. 14:49

A kör területe a mai napig valami egészen misztikus dolognak hat. Mindenki megtanulja az általános iskola hetedik osztálya környékén, hogy a kör területét úgy számítjuk ki, hogy T=r²·π. Vagyis  kör területe egyenlő egy irracionlási szám (π=3,14...) szorozva a kör sugarának négyzetével.

1. ábra

2. ábra

Egy valamilyen alakzat (esetünkben legyen ez a kör) területe nem jelent mást, minthogy megmondju, hogy hány darab 1x1-es négyzettel tudjuk lefedni úgy, hogy se a lefedő négyzetek ne lógjanak le a körről, se a kör ne lógjon ki a négyzetek által lefedett terület alól. Ez a dolog gondolatban követhető az egyszerű alakzatok esetén. Értjük például, hogy egy nagy négyzetet hogy tudunk lefedni kis négyzetekkel, vagy egy téglalapot hogy tudunk lefedni. Azt is értjük, hogy 2,5 négyzet szükséges, de egy ilyen bonyolult alakzat esetén, mint a kör már igen nehéz a feladat. Vegyünk egy egység sugarú kört (A sugár hossza 1) és rajzonljunk rá egy 1x1-es négyzetet! Maga a kör sugarának négyzete nem más, mint a mellékelt ábrán lévő piros négyzet területe. Látjuk, ahogy a négyzet csúcsa laz egyik ábrázlásnál (1. ábra) lelóg a körről, a másik esetben (2. ábra) pedig jóval kisebb a körnél. A négyzetből megmaradó darabokkal pedig bárhogy is próbáljuk, nem tudunk mit kezdeni.
Arkhimédész a kör területének meghatározására a következőt tette:  Rajzolt egy olyan négyzetet, amelynek oldalai kívülröl érintették a kört (3. ábra piros négyzet)

3. ábra

Egy ilyen négyzet könnyen szerkeszthető, hiszen a sugár pontosan a négyzet oldalának a fele.
Ezek után Arkhimédész egy olyan négyzetet is rajzolt, ami épphogy belefért a körbe (3. ábra sötétzöld négyzet). Ezt a négyzetet úgy kapjuk meg, hogy behúzzuk a kör köré rajzolt négyzet átlóit (3. ábra világoszöld vonalak) és összekötjük azokat a pontokat, ahol metszi a kört.
Ez az egész játék arra megy ki, hogy most kiszámítjuk a körbe írt négyzet és a kör köré írt négyzet területét. Ami biztos, hogy a kör területe a két terület között kell, hogy legyen, hiszen a kör köré rajzolt négyzet nagyobb a körnél, a bele rajzolt pedig kisebb.
A nagy négyzet területe egyszerűen számítható, hiszen oldalai 2r hosszúak, így a TNagy=(2r)²=4r². A belső  négyzet esetén a kör sugara a négyzet átlójának fele lesz. A négyzet átlói viszont derékszögben metszik egymást, vagyis az oldal hosszának kiszámításához használni tudjuk a Pitagorasz-tételt. A derékszögű háromszögünk mindkét befogójának hossza r, így az átfogó az a²=+ képletből számolva a=2½r, vagyis a TKicsi=(2½·r)²=2r².

Tehát a kör területe ezek alapján:

TKicsi < Tkör < TNagy

Ez azért valljuk be, nem egy olyan eget megrengető dolog. Ott tartunk, hogy a kör kerülete biztos, hogy nagyobb 2r²-nél és kisebb 4r²-nél. Arkhimédész azonban nem állt itt meg. Négyszög után nyolcszöggel, tizenhatszöggel, harminckétszöggel is el lehet végezni ezt a közelítést. Minél több szöggel közelítjük ugyanis a kört, annál pontosabb eredményt kapunk, hiszen a kört tulajdonképpen felfoghatjuk egy végtelen szögű alakzatnak.

4. ábra

Szabályos nyolcszöget a kör körül úgy kapunk, hogy a körnek megszerkesztjük azokat az érintőit is, melyek a kört a kis négyzet csúcsainál érintik. A körbe írt nyolcszöget pedig úgy kaphatjuk meg, hogy berajzoljuk a nagy nyolcszögünk átlóit és ahol ezek metszik a körünket, azok lesznek a kis nyolcszögünk csúcsai. A folyamatot a végtelenségig ismételhetjük, mindig duplázva a szabályos sokszögünk csúcsainak a számát. A 4. ábrán jól látható, hogy nyolcszögek esetén mennyire közel van egymáshoz a beírt és a kör köré írt sokszög.

Ha elvégezzük nyolcszög esetén a számításokat, a következőt kapjuk:

TKicsi = 2½·2r² ≈ 2,828·r²
TNagy ≈ 3,314·r²

Ezek már jóval közelebb vannak a π=3,14159... szorzótényezőhöz. A kis nyolcszög területét még szépen ki lehet fejezni a kör sugarával, de a nagy nyolcszög esetében már csak trigonometrikus függvények segítségével vagyunk képesek kifejezni a pontos értéket. A következő táblázat azt mutatja, hogy hányadik lépésben mennyire tudjuk megközelíteni a kör területét:

Lépés 1  2 3 4 5
Közelítő síkidom szögeinek a száma 4  8  16  32 64
Kis síkidom területének szorzótényezője  2  2,818  3,0615  3,1214 3,1365
Nagy síkidom területének szorzótényezője  4  3,314  3,1826 3,1517  3,1441

 
Jól látszik, hogy ötödik lépésben már igen jól megközelítjük a π értékét. Magát a π értéket természetesen csak a végtelenedik lépésben kaphatjuk meg.

Az ínyencek kedvéért nézzük még meg, hogy hogyan is tudjuk kiszámítani a körbe írt N szög és a kör köré írt N szög területét!

Az N-szöget a körbe írva mindig felbonthatjuk olyan háromszögekre, (nyolcszög esetén az 5. ábrán lévő piros háromszögek) melyek csúcsa a kör középpontja, és a sokszög egymás melletti scsúcsai. Ezután behúzzuk a háromszögek magasságát (nyolcszög esetén az 5. ábrán lévő zöld szakaszok) is. Az így létrejövő 2N darab kis háromszög (nyolcszög esetén tizanhat kis háromszög) területe egyszerűen számítható. Vegyük észre, hogy egy ilyen háromszög origóban (kör középpontja) lévő szöge a 360 fok 2N-ed része (nyolcszög esetén 360/16)! Derékszögű háromszög lévén az alap nem lesz más, mint r-szer a szög koszinusza, a magasság pedig r-szer a szög szinusza. Egyetlen ilyen háromszögnek területe tehát: TΔ=cos(360/2N)·sin(360/2N)·r²/2. Mivel 2N darab ilyen háromszögből épül fel a sokszög, az egész alakzat területe:
Tbelső_sokszög=2N·TΔ=N·cos(360/2N)·sin(360/2N)·r².

A kör köré írt háromszög esetén a kör sugara lesz a hasonló módon felosztott sokszög kis háromszögeinek a magassága, az alap pedig - szintén hasonló megfontolások alapján - r·tan(360/2N). A kör köré írt sokszög területe
Tkülső_sokszög=N·tan(360/2N)·r²

A kör területének pontos meghatározásához elegendő akár az N·tan(360/2N) vagy a cos(360/2N)·sin(360/2N) N→∞ határértéket vennünk, aminek az értéke π.

Ez is egy módszer arra, hogy hogyan tudjuk meghatározni a kör területét leíró képletet. A későbbiek során más módszereket is megismerhetünk.

Címkék: matematika gimnázium kör arkhimédész általános8 területszámítás

Szólj hozzá! · 1 trackback

A bejegyzés trackback címe:

http://termeszettudomany.blog.hu/api/trackback/id/tr201031297

Trackbackek, pingbackek:

Trackback: A Kör Négyszögesítése 2010.06.11. 17:13:56

Számoljuk ki a kör területét!...

Kommentek:

A hozzászólások a vonatkozó jogszabályok  értelmében felhasználói tartalomnak minősülnek, értük a szolgáltatás technikai  üzemeltetője semmilyen felelősséget nem vállal, azokat nem ellenőrzi. Kifogás esetén forduljon a blog szerkesztőjéhez. Részletek a  Felhasználási feltételekben.

Nincsenek hozzászólások.