René Descartes módszere, az algebrai képletek grafikus úton történő ábrázolásának lehetősége kaput nyitott az algebrai egyenletek grafikus úton való megoldására is. Mit is jelent ez a mondat?
Van egy algebrai egyenletünk: 2x+3 = x-5
Ezt az egyenletet egyrészt megoldhatjuk az általános iskolában tanult módon is:
2x+3 | = | x-5 | / -3 |
2x | = | x-8 | /-x |
x | = | -8 |
Ez úgy gondolom, egy jól ismert módszer.
Mit is mond maga a 2x+3 = x-5 egyenlet? Az egyenlőség jel bal oldalán lévő kifejezésnek egyenlőnek kell lennie az egyenlőség jel jobb oldalán lévő kifejezéssel. Megpróbálhatjuk megoldani az egyenletet úgy is, hogy az x helyére hasraütéssel számokat írunk és megnézzük, hogy a bal oldal megegyezik -e a jobb oldallal.
Megnézzük például az x=0 esetet (ez a legegyszerűbb). Behelyettesítve: 2×0+3 = 0-5, vagyis 3 = -5. Ez nem igaz, vagyis biztos, hogy az x=0 nem jó megoldás. Egy ideig még eljátszhatunk a behelyettesítésekkel és jelen esetben még könnyen meg is találhatjuk a megoldást, de vannak a 2x+3 = x-5 egyenletnél jóval bonyolultabb egyenletek is. Készítsünk egy táblázatot, ahova az x változó függvényében beírjuk az egyenlet bal, illetve jobb oldalának értékeit:
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2x+3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
x-5 | -7 | -6 | -5 | -4 | -3 | -2 | -1 |
Célunk, hogy a második és harmadik sor számai megeggyezzenek. Amelyik oszlopban megegyeznek a számok, az ottani első sorban lévő szám lesz az egyenlet megoldása. Látjuk, hogy ez így még mindig nagyon sok vacakolással jár. Csináljuk inkább azt, hogy egy lapont két, egymásra merőleges egyenest azonos részekre osztunk. A két egyenes nem lesz más, mint az iskolában jól megismert koordinátarendszer tengelyei. Jelöljük az egyik pontsorozatot g-vel, tehát g = 2x+3, a másikat h-val, vagyis h = x-5. Most pedig ábrázoljuk a koordinátarendszerünkön a táblázat által megkapott értékeket és kössük össze az összetartozó pontokat (g-t és h-t)!
Ahogy azt vártuk, g és h pontsorozat pontjai egy-egy egyenesen helyezkedik el. Gondolatban meghosszabbíthatjuk az egyes vonalakat. Érezhető, hogy a két egyenes egy pontban metszeni fogja egymást. Ez azt jelenti, hogy a g = h az adott pontban. Pontosan ez az, amit kerestünk. Az x tengely ezen kordinátája lesz az eredeti 2x+3 = x-5 egyenlet megoldása.
Látjuk tehát, hogy az algebrai egyenletet egyértelműen át tudtuk alakítani egy geometriai problémává. A kérdés már nem az, hogy mi a 2x+3 = x-5 egyenletnek a megoldása, hanem az, hogy hol találkozik a két egyenes. Egy vonalzó segítségével meghosszabbítjuk a vonalakat és már meg is van a megoldás:
Utolsó kommentek